Fiatal Kutatói Ülésszak

Kivonat: Adott $X_1, X_2,...$ független, azonos eloszlású valószínûségi változókhoz, és egy x valós számhoz tekintsük az $\exp(2 \pi i S_k x$) véletlen bolyongást az egységkörön, ahol $S_k=X_1+...+X_k$. Azt vizsgáljuk, hogy a bolyongás pontjai mennyire egyenletesen helyezkednek el az egységkörön. Ennek két lehetséges mérõszáma a sorozat elsõ $N$ tagjából álló exponenciális összeg abszolút értéke, illetve a sorozat diszkrepanciája. Az exponenciális összegre egy iterált logaritmus tételt bizonyítottunk, míg a diszkrepanciára log faktoroktól eltekintve éles becsléseket adtunk. Berkes Istvánnal közös munka.

Kivonat: In the finite case an $ r $-vertex-flame is a finite directed graph $ F $ with $ r\in V(F) $ in which for every vertex $ v\neq r $ the indegree of $ v $ is equal to $ \kappa_F(r,v) $ (the local connectivity from $ r $ to $ v $ in $ F $). G. Calvillo Vives proved that if $ D $ is a finite directed graph with $ r\in V(D) $, then there is a spanning subdigraph $ F $ of $ D $ such that $ F $ is an $ r $-vertex-flame and $ \kappa_F(r,v)=\kappa_D(r,v) $ holds for every $ v $. Our goal is to find the ``right'' infinite generalization of this theorem. We extend the definition of flame to the infinite case by demanding for every $ v $ an internally disjoint system of $ r\rightarrow v $ paths that uses all the ingoing edges of $ v $. Instead of just preserving the local connectivities from $ r $ as cardinals we want to preserve in $ F $ for every $ v $ an Aharoni-Berger cut of $ D $ from $ r $ to $ v $. Our main result so far is to accomplish this for countable digraphs.

Kivonat: Kétparaméteres sátor-leképezés $T_{ { \alpha }, { \beta }}(x)$ , ahol $(\alpha,\beta)\in[0,1]^{2}$ a csúcsa a sátornak: $$T_{\alpha,\beta}(x) =\left\{ \begin{array}{clcr} \frac{\beta}{\alpha}x & ha & 0 \leq x < \alpha \\ \frac{\beta}{1-\alpha}(1-x) & ha & \alpha< x \leq 1 \end{array} \right.$$ Tegyük fel, hogy $T=T_{ { \alpha }, { \beta }}$ rögzített egy $ { \alpha }, { \beta }\in U$-ra és $x\in [0,1]$. $x$ pályáját $\underline{x}$$=\underline{l}_{{ \alpha }, { \beta }}(x)$-val jelöljük, ekkor az $\underline{M}=K(\alpha,\beta)=\underline{l}_{{ \alpha }, { \beta }}( \beta )$ pedig $T_{\alpha,\beta}$ gyúrósorozata a $h(\alpha,\beta)$ pedig a topologikus entrópiája. Ennek kapcsolatát vizsgáljuk a Ljapunov-exponenssel (\lambda(x)): $$\lambda(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \log \frac{1}{n}|(T_{ { \alpha }, { \beta }}^n)'(x)|$$

15:15 - 15:35 Kávészünet

Kivonat: Adunk egy egyszerû algoritmust a Milnor fibrum peremének meghatározására speciális nem-izolált felületszingularitások esetén. A Milnor fibrum peremét plumbing gráf formájában kapjuk meg a kettõs görbe beágyazott rezolúciójából kiindulva. Az új csúcsok dekorációi új invariánsokat adnak a szinguláris halmaz komponensei mentén, ezek a topológikus variációs számok. Kötjük õket a Mond-féle C és T invariánsokkal, egy stabil deformációs során megjelenõ Whitney esernyõk illetve háromszoros pontok számával.

Kivonat: In this talk we introduce a family of globally coupled circle maps. Assuming some regularity conditions, we show that for sufficiently weak coupling the system has a unique invariant distribution in a suitable space of (Lebesgue-absolutely continuous) measures. We also show that initial densities close to the unique invariant density converge to it with exponential speed. This might not be the case for sufficiently strong coupling. We show an example where the distributions do not converge, but approach a moving point mass in any sensible metric on spaces of measures. This can be interpreted as the perfect synchronization of the coupled map system.