Leírás
Egy $F$ valós függvényt szemimartingál-függvénynek nevezünk az $X$ szemimartingálra nézve, ha az $F(X)$ folyamat is szemimartingál.
Sikerült elemi bizonyítást adni arra, hogy a Brown-mozgás esetén a szemimartingál-függvények éppen azok a függvények, amelyek előállnak két konvex függvény különbségeként. Tetszőleges folytonos szemimartingál esetén a Brown-mozgás esetén alkalmazott technika segítségével sikerült belátni, hogy ha egy F függvény szemimartingál-függvény, akkor bizonyos pontok környezetében igaz marad ez. Ezen eredmények kiterjesztik a (Cinlar, Jacod, Protter, \& Sharpe, 1980) cikkben szereplő eredményeket a Markov-folyamatokról a szemimartingálok esetére.
A szemimartingál-függvényekre vonatkozó eredmények egyik lehetséges általánosítása, ha determinisztikus valós függvények helyett olyan véletlen függvényeket tekintünk, melyek függetlenek az eredeti folyamattól. Ekkor az derül ki, hogy a véletlen függvény tipikus realizációja olyan, hogy teljesíti a determinisztikus eset követelményeit. Ezen általánosítás segítségével sikerült belátni, hogy a (Prokaj, Rásonyi, \& Schachermayer, 2011) cikkben szereplő medián folyamat nem szemimartingál. Ez a folyamat a (Hu \& Warren, 2000) cikkben is megjelent, ahol a szemimartingálság kérdése felmerült, viszont megválaszolatlan maradt.
A bemutatott eredmények a témavezetőmmel, Prokaj Vilmossal közös eredmények, melyek jelenleg a publikáció fázisában vannak.
Irodalom:
Cinlar, E., Jacod, J., Protter, P., \& Sharpe, M. J. (1980). Semimartingales and Markov processes. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete (54), 161-219.
Hu, Y., \& Warren, J. (2000). Ray-Knight theorems related to a stochastic flow. Stochastic Process. Appl. (86), 287-305.
Prokaj, V., Rásonyi, M., \& Schachermayer, W. (2011). Hiding a constant drift. Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. (47), 498-514.
On the lack of semimartingale property