Leírás
Megmutatjuk, hogy található a perkoláció paramétereitől függő $0<\alpha_0<1$, melyre a fraktál (Mandelbrot) perkoláció egy valószínűséggel minden $\alpha>\alpha_0$-ra tisztán $\alpha$-rektifikálhatatlan.
Adott $0 < \alpha \le 1$ esetén az $A$, $\mathbb{R}^d$-beli halmaz tisztán $\alpha$-rektifikálhatatlan ha
$H^{1/\alpha} (A \cap \gamma([0, 1])) = 0$ teljesül minden $\gamma \colon [0, 1] \to \mathbb{R}^d$, $\alpha$-Hölder görbére, ahol $H^s$ az $s$-dimenziós Hausdorff mérték.
A $[0,1]^d$ ismételten $N^d$ részkockára bontásán alapuló fraktál perkolációt tekintjük.
Megmutatjuk, hogy minden $d=2,3,\dots$-ra, $0 \le p < 1$-re és $N$-re található $\alpha_0 < 1$, melyre egy valószínűséggel minden $\alpha_0 < \alpha \le 1$-ra a fraktál perkoláció halmaz $E$ tisztán $\alpha$-rektifikálhatatlan.
Az $\alpha = 1$ eset a szokásos 1-rektifikálhatatlan esetnek felel meg, így az általános eset következménye, hogy a fraktál perkoláció halmaza, $E$ egy valószínűséggel tisztán 1-rektifikálhatatlan. Ezt a speciális esetet, az általánosnál jóval egyszerűbb bizonyítással, külön bizonyítjuk. Cikkünk hetedik szakasza tartalmazza azokat az új eszközöket, melyeket az általános esetre fejlesztettünk ki. Remélhetőleg ezek hasznosnak bizonyulnak majd más fraktál perkolációra, illetve véletlen geometriai konstrukcióra vonatkozó problémák kezelésében.
Az előadás Esa Järvenpää-val, Maarit Järvenpää-val, Keleti Tamással és Tuomas Pöyhtäri-val közös cikken alapul.
Zoom link: https://zoom.us/j/93746696898?pwd=b1J2MnEwMVdDVElPUFRkYWdtVXdWdz09
Meeting ID: 937 4669 6898
Passcode: 280561