Leírás
Egy gain gráf egy (referenciairányítással rendelkező), egy csoport
elemeivel élcímkézett gráf. Zaslavsky a '90-es években két matroidot
definiált ilyen gráfokon, a frame és a lift matroidokat, és ezek lineáris
reprezentációit vizsgálta. Frame matroidok esetében akkor van lineáris
reprezentáció az F test felett, ha a címkéző csoport részcsoportja F
szorzáscoportjának, míg a lift matroidok esetében akkor, ha címkéző
csoport részcsoportja F összeadáscsoportjának.
Az előadásomban bemutatom Shin-ichi Tanigawa: Matroids of gain graphs in
applied discrete geometry c. cikkét, melyben a fenti eredményeket terjeszti
ki két irányba. Egyrészt, a fenti rangfüggvényeket kiterjesztjük egy, a
címkéző csoport elemein definiált szubmoduláris függvényre alapulva,
mellyel kapott matroidok általánosításai a frame/lift matroidok
összegmatroidjának. Másrészt kiterjesztjük a frame/lift matroidok
d-szeresének lineáris reprezentációját, a címkéző csoport egy a d-dimenziós
vektortér feletti lineáris reprezentációját alapul véve.
A fenti kutatásokat a szimmetrikus szerkezetek merevségelméletében elért
legfrissebb eredmények ihlették, és több ilyen irányú új alkalmazásuk van.
Ezek közül az egyik a szimmetrikus valamint a periodikus test-rúd
szerkezetek merevségének leírása tetszőlegesen magas dimenzióban.