Leírás
Az utóbbi időben számos olyan véletlen gráfot vizsgáltak meg, amelynek a fejlődése
ún. preferential attachment dinamikát követ. A véletlen gráfokkal kapcsolatos kutatásokat
a gyakorlati alkalmazásokban megjelenő nagyméretű hálózatok motiválják, mint például
az internet, illetve különféle biológiai és szociális hálózatok. Az alkalmazások egy részében
a gráf csúcsai és élei véges sok típusba sorolhatók. Például egy szociális hálózatban a
csúcsok jelölhetnek férfiakat, illetve nőket, és az élekkel többféle kapcsolatot modellezhetünk.
Az előadás témája egy olyan diszkrét lépésekben fejlődő preferential attachment dinamikát
követő gráfmodell, amelyben az élek típusait véletlenszerűen sorsoljuk ki. Feltételezzük, hogy
a gráf struktúrájának fejlődése és az élek típusának kiválasztása kölcsönösen hat egymásra.
Az egyszerűség kedvéért egyedül a 2-féle típussal rendelkező modelleket tekintjük át, de az
eredmények és a bizonyítások könnyedén általánosíthatók tetszőlegesen sok típusra. Az egyes
típusokat színekkel is reprezentálhatjuk, így gondolhatunk egy olyan gráfra, amelyben az élek
kék, illetve piros színűek. Az előadás során az egy valószínűségű aszimptotikus fokszámeloszlás
létezését igazoljuk különféle véletlen gráfmodellekben, tehát bebizonyítjuk, hogy rögzített $k$ és $l$
esetén a$k$ kék, illetve piros színű éllel rendelkező csúcsok aránya egy valószínűséggel konvergál
egy valószínűségi változóhoz, amint a lépések száma tart a végtelenhez. Ezután megmutatjuk,
hogy az aszimptotikus fokszámeloszlás tagjai kielégítenek bizonyos rekurziós egyenleteket.
Végül áttekintjük, hogy mi mondható a skálafüggetlenségről többtípusú véletlen gráfmodellekben.
Az eredmények Backhausz Ágnessel közösek.