Leírás
Két kérdésről fogok röviden beszélni. Az első a chip-firing aktivitásának dinamikája véletlen gráfokon. Ez Kiss Viktorral és Lionel Levine-nel közös eredmény. Egy chip-kiosztás aktivitása azt mondja meg, hogy a játék során átlagosan a csúcsok mekkora hányada tud lőni. (Ezt úgy definiáljuk, hogy bevezetjük a párhuzamos chip-firing játékot ahol egy lépésben mindig kilőjük az összes lőhető csúcsot. Ez már egy determinisztikus játék, tehát a fenti mennyiség jól definiált. Érdekes kérdés hogy a párhuzamos játék bevezetése nélkül is lehet-e definiálni a mennyiséget.) Fizikusok korábban szimulációkkal vizsgálták hogy mi történik az aktivitással ha az ember minden csúcsra rak egy kis plusz chipmennyiséget és arra jutottak, hogy ha az ember nagyon nagy gráfokon csinálja ezt, akkor az aktivitás ördöglépcső-szerűen változik (ördöglépcsőnek a folytonos, monoton növő, nem konstans de egy nyílt sűrű halmazon konstans függvényeket nevezik). Lionel Levine látta be hogy egyre nagyobb teljes gráfokat és megfelelő chip-kiosztásokat véve az aktivitás függvénye valóban egy ördöglépcsőhöz tart. Mi ezt az eredményt általánosítottuk véletlen gráfok sorozatára úgy, hogy kiterjesztettük a párhuzamos chip-firingot graphonokra, majd beláttuk hogy az aktivitás "robosztus".
A másik kérdés a metrikus gráfok chip-firingjáról szól. Egy metrikus gráf egy gráf ahol az éleknek adott valamilyen hossza, és az egészre egy metrikus térként tekintünk (tehát a csúcsok is és az élek pontjai is "pontok"). Egy lövés itt azt jelenti, hogy egy vágás egyik partjáról minden élen azonos sebességgel elindítunk egy-egy chip-et. Két chip-kiosztás lineárisan ekvivalens, ha egyikből a másikba el tudunk jutni lövésekkel. A kérdés itt az volt, hogy van-e minden "szép" ekvivalenciaosztálynak "szép" reprezentánsa. A válasz igen, és szubmoduláris függvények segítségével lehet találni ilyet. Érdekesség hogy itt a halmazrendszerünk végtelen (bár az érdekes halmazok már nincsenek olyan sokan.) Ez Andreas Gross-al és Farbod Shokrieh-vel közös eredmény.