Leírás
Ez Ajneet Dhillon-nal közös munka, ami itt olvasható: arXiv:1901.06816 [math.AG]
Legyen G egy L|K véges Galois testbővítés Galois-csoportja. Ekkor a klasszikus Hilbert 90 tétel szerint H^1(G,L^\times)=\{1\}. Geometriailag U=Spec L --> Spec K=X egy étale fedés, és a Hilbert 90-tétel azt mondja ki, ha egy P --> X G_m-torzor triviális U-n, akkor triviális X-en is. Ez általánosítható egy X séma esetére, ahol az mutatható meg, hogy H^1_fppf(X,GL_n)=H^1_Zar(X,GL_n). Ez azt jelenti, hogy ha P --> X egy olyan GL_n-torzor, amihez létezik egy trivializáló fppf fedés, akkor létezik hozzá trivializáló Zariski fedés is. Mi általánosítottuk ezt perfekt komplexusokra: megmutattuk, hogy ha X Noether séma, aminek a hányadostestjei végtelenek, és E,F két perfekt komplexus, amik fppf lokálisan kvázi-izomorfak, akkor Zariski lokálisan is kvázi-izomorfak.
Hasonlóan, amikor az ember a H^2(X,G_m) kohomológiacsoportot vizsgálja, szeretné, hogy a kohomológiaosztályoknak legyenek érdekes representánsai. Giraud munkássága nyomán megmutatható, hogy a kohomológiaosztályok G_m gerbe-ek, vagyis BG_m-torzorok ekivalenciaosztályai. A Skolem--Noether tétel segítségével algebraibb reprezentánsokat kaphatunk. A tétel klasszikus formájában a rövid egzakt sorozat 1 --> G_m --> GL_n --> PGL_n --> 1. Ez deloop-olható, hogy a Vec_n --> Az_n --> B^2G_m fibrált sorozatot kapjuk. Itt Vec_n az n rangú vektornyalábok, Az_n pedig az n rangú Azumaya algebrák stack-je. Vagyis: ha A egy n rangú Azumaya algebra, akkor a trivializáló gerbe-je G_m-gerbe lesz. Nem minden H^2(X,G_m)-osztály reprezentálható Azumaya algebrával. Ellenben Toën megmutatta [2012], hogy derivált Azumaya algebrával, azaz olyan algebrával, ami lokálisan ekvivalens egy REnd E alakú algebrával, ahol E perfekt komplexus, igen. Mi megmutattuk, hogy ebben a kontextusban is érvényes a Skolem--Noether tétel: legyen E egy perfekt komplexus, i: Supp E --> X pedig a tartója beágyazása. Ekkor i_*BG_m --> B Aut E --> B Aut REnd E fibrált sorozat. Befejezésül megmutatjuk, hogyan következik a mi eredményünkből a klasszikus, illetve a Lieblich-féle [2009] Skolem--Noether tétel.