Description
Egy n dimenziós X projektív tér s dimenziós (lineáris) altereinek egy B részhalmazát (s,t)-blokkolónak nevezünk, ha X minden t dimenziós (lineáris) T alteréhez létezik egy B-beli S altér, ami tartalmazza T-t. Véges test felett a természetes kérdés a legkisebb blokkoló halmaz(ok) f_{s,t}(n) méretének meghatározása, illetve az ilyen méretű blokkoló halmaz(ok) struktúrájának leírása. A megoldás csak speciális (n,s,t) hármasok esetén ismert: (n,s,0) esetén lineáris altér [3], (n,n−1,t) esetén (n-t-1)-fedések duálisa [4], n<=s−1+s/t esetén t-spread [5], valamit spreadek visszahúzottja a faktor geometriából a (2s,s,t) [1] illetve a 2s<n<=3s-3 [2] esetekben.
Az előadáson az (n,2,1) esetet vizsgáljuk. A korábbi eredmények (a triviális n=2 eseten túl) csak az n=3 [5] és az n=4 [1] esetekre adnak pontos megoldást, illetve n=5 esetén sejtést [2]. Metsch faktor geometriás konstrukcióját [1,2] továbbgondolva általános n esetén bemutatunk néhány konstrukciót kis méretű (2,1)-blokkoló halmazokra. Továbbá elemi módszerek segítségével adunk alsó korlátokat f_{2,1}(n) értékére, amik ugyan nem egyeznek meg a konstrukciók méretével, de ahhoz közeliek.
Folyamatban lévő közös munka Kovács Benedekkel és Nagy Zoltán Lóránttal, az ELTE Lineáris Hipergráfok Kutatócsoport tagjaival.
[1] J. Eisfeld and K. Metsch: Blocking s-dimensional subspaces by lines in PG(2s,q), Combinatorica 17 (1997), 151–162.
[2[ Metsch, Klaus. "Blocking subspaces by lines in PG (n, q)." Combinatorica 24.3 (2004): 459-486.
[3] R. C. Bose and R. C. Burton: A characterization of Flat Spaces in a Finite Geometry and the uniqueness of the Hamming and the MacDonald Codes, J. Comb. Th. 1 (1966), 96–104.
[4] A. Blokhuis: Blocking sets in Desarguesian planes; in Combinatorics, Paul Erdős is Eighty, volume 2, pages 133–155, János Bolyai Math. Soc., Budapest, 1996 (Keszthely, 1993).
[5] A. Beutelspacher and J. Ueberberg: A characteristic property of geometric t-spreads in finite projective spaces, Europ. J. Comb. 12 (1991), 277–281.