Grigory Margulis, a 2020. évi Abel-díj egyik kitüntetettje
Margulis 1946-ban született a Szovjetunióban. 1978-ban Fields-érmet kapott, amit nem vehetett át személyesen, mert a szovjet rezsim nem engedte ki az országból. Később a Wolf-díjat és idén az Abel-díjat is megkapta. Ez a három legrangosabb matematikai díj, összesen öt matematikus kapta meg eddig mindhármat.
Abért Miklós és Pyber László összeállításában Margulis fő eredményeit mutatjuk be, kiemelve néhány kapcsolódási pontját a magyar matematikához.
Margulis munkásságának központi eredménye Selberg azon sejtésének bizonyítása, mely szerint ha G legalább 2 valós rangú Lie csoport, akkor G-ben minden irreducibilis rács aritmetikai. Egy Γ diszkrét részcsoportot akkor nevezünk rácsnak G-ben, ha a G/Γ faktortér mértéke véges. Borel és Harish-Chandra munkája nyomán ismert volt, hogy féligegyszerű Lie-csoportokban bizonyos - viszonylag egyszerűen, számelmélet segítségével konstruálható - részcsoportok szükségszerűen rácsok. Ezek az úgynevezett aritmetikai rácsok, például SL(n,R)-ben az egész mátrixok SL(n,Z) csoportja egy ilyen aritmetikai rács. Margulis megmutatta, hogy ha a G féligegyszerű Lie-csoport bizonyos feltételeknek eleget tesz, akkor G-ben minden irreducibilis rács aritmetikai. Például SL(n,R)-ben minden rács aritmetikai, ha n legalább 3. Ez az eredmény a magas rangú rácsok teljes osztályozását szolgáltatja, amiből adódik, hogy ezeket az eredetileg topologikusan definiált, absztrakt részcsoportokat az algebrai geometria és a számelmélet mély eszközeinek segítségével vizsgálhatjuk.
Néhány évvel később Margulis teljesen leírta a fenti típusú Γ rácsok normálosztóit is. Igazolta a híres „Margulis Normálosztó Tétel”-t, ami szerint Γ minden normálosztója vagy véges és centrális, vagy véges indexű, azaz majdnem akkora, mint az egész csoport. Ennek a tételnek rengeteg mély alkalmazása van. Nemrég e tétel segítségével Goldfeld-Lubotzky-Nikolov-Pyber meglepően éles becsléseket adtak magas rangú rácsok véges indexű részcsoportjainak számára. A Normálosztó Tétel ergodelméleti verzióját Stück, Zimmer és Nevo látták be. Az ergodelméleti verzió nemrég váratlan alkalmazásra talált az Abért-Bergeron-Biringer-Gelander-Nikolov-Raimbault-Samet cikkben, ahol invariáns véletlen részcsoportok segítségével belátták, hogy magasabb rangú lokálisan szimmetrikus terek tetszőleges sorozata Benjamini-Schramm értelemben konvergál a vonatkozó szimmetrikus térhez.
Margulis a fenti kutatásokhoz kapcsolódóan a Kazhdan-féle (T) tulajdonsággal rendelkező úgynevezett Kazhdan-csoportok segítségével megoldotta az elméleti számítógéptudomány egy fontos problémáját is. Ismert, hogy ha Γ egy irreducibilis rács egy magas rangú féligegyszerű Lie-csoportban, akkor Γ Kazhdan-csoport. Ez a tény kulcsfontosságú volt a Normálosztó Tétel bizonyításában is. Margulis a Kazhdan-csoportok segítségével a legelső explicit konstrukciót adta korlátos fokú expanderekre. Egy véges X gráf akkor ε-expander, ha a csúcsok minden olyan S részhalmazára, amelynek mérete legfeljebb |X|/2, az S határa legalább ε|S| méretű. Véges gráfok egy családja expander-család, ha a család minden tagja ε-expander ugyanazon pozitív ε-ra. Korábban Pinsker belátta, hogy a véletlen reguláris gráfok nagy valószínűséggel jó expanderek, amiből következik, hogy léteznek korlátos fokú expander-családok. Explicit konstrukció azonban sokáig nem volt ismert.
Az explicit expanderek egyik első alkalmazása az elméleti számítógéptudományban Ajtai, Komlós és Szemerédi nevéhez fűződik. Ők olyan hálózatot konstruáltak, amely n elemet clog(n) párhuzamos lépésben sorba rendez. Egy alapvető eszköz egy ilyen hálózat explicit megalkotásához a korlátos fokú expanderek explicit konstrukciója. Azóta az expander gráfokat az elméleti számítógéptudomány számtalan területén alkalmazták a komplexitás-elmélettől a kriptográfiáig és a „tiszta matematikában” is számos területen, például a nemkommutatív számelméletben.
Margulis áttörő eredményét követő kiterjedt és intenzív kutatások rávilágítottak a Kazhdan-csoportok és az expanderek közötti szoros kapcsolatra. Ha ugyanis Γ egy végesen generált csoport amely rendelkezik a Kazhdan-féle (T) tulajdonsággal (mint például SL(n,Z), ha n legalább 3), és S a Γ egy szimmetrikus generátorrendszere, akkor létezik olyan pozitív ε, hogy bármely véges indexű N normálosztóra a Γ/N csoport S-re vonatkozó Cayley-gráfja ε-expander. Nemrég Bourgain és Varjú áttörő munkájukban hasonló eredményt bizonyítottak az SL(n,Z) csoport Zariski-sűrű részcsoportjainak kongruencia faktoraira. Ez egy, a rácsoknál sokkal általánosabb csoportosztály. A bizonyítás egyik legfontosabb eszköze a korlátos rangú véges egyszerű csoportokra vonatkozó úgynevezett Szorzat Tétel amelyet egymástól függetlenül egyszerre bizonyított be Breuillard-Green-Tao és Pyber-Szabó.
Margulis 1989-ben a Turán Pál emlékelőadások keretében három előadást tartott Budapesten „Diszkrét részcsoportok és ergodelmélet címmel”. Egyik nagyhatású, több mint száz oldalas dolgozata a Bolyai János Matematikai Társulat által 1971-ben rendezett nyári iskola anyagából kiadott kötetben jelent meg.
További részletek az Abel-díj oldalán.
A koronavírus-járvány miatt a május 19-re tervezett díjátadót meghatározatlan időre elhalasztották.
Az Abel-díjas matematikusok életművét röviden, közérthetően Pálfy Péter Pál, intézetünk korábbi igazgatója ismertette a Klasszik Reggeli március 20-i műsorában.